29789 常微分方程

江苏教育学院编 （高纲号 0793）       一、课程性质及其设置目的与要求
    （—）课程性质及其设置目的
    常微分方程是江苏省高等教育自学考试数学教育专业的一门重要的基础理论课程，它具有非常重要的应用价值，它的设置目的是：
    1、使应考者系统地获得常微分方程中最基本的知识和必要的基础理论，能比较熟练的掌握基本的运算技能，为学生进一步学习数学其它有关课程提供必要的数学工具。
    2、为应考者今后应用数学（如数学建模等）解决实际问题提供必要训练和准备。通过学习，使应考者能掌握一阶微分方程的初等积分法，能求解常系数高阶线性微分方程、常系数线性微分方程组。
    3、通过学习，使应考者受到数学思想方法，尤其是数学化归思想的教育。
    （二）本课程的基本要求
    本课程共分六章。通过学习，使应考者能了解常微分方程中最基本的知识和应用价值，以及有关数学思想方法，理解必要的常微分方程基础理论，重点掌握一阶微分方程的初等积分法和求解常系数高阶线性微分方程以及常系数线性微分方程组。
    （三）本课程与相关课程的联系
    常微分方程应是数学分析和高等代数的后继课程。
    
    二、课程内容与考核目标
    第一章  初等积分法
    （一）课程内容                             
    1、微分方程和解
    2、变量可分离方程
    3、线性方程与常数变易法 
    4、全微分方程与积分因子
    5、一阶隐式方程
    6、几种可降阶的高阶方程
    7、一阶微分方程的应用举例
    （二）学习要求
    熟练掌握变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程和全微分方程以及几种可降阶高阶方程的的解法，会求一些简单的积分因子，了解一阶隐式方程的求解方法，具有应用变量变换求解微分方程的能力，能应用微分方程分析和解决一些简单实际问题。
    （三）考核知识点和考核要求
    1、领会：微分方程概念
    2、掌握：一阶微分方程的一般解法和各类型方程的转化关系，以及一阶微分方程的应用
    3、熟练掌握：变量可分离方程的解法，线性方程和伯努利方程的解法，全微分方程的解法，几种可降阶的高阶方程的解法，一阶微分方程的简单几何应用
                     
    第二章  基本定理
    （一）课程内容                              
    1、常微分方程的解的几何解释
    2、存在唯一性定理与逐步逼近法
    3、解的延拓
    4、奇解
    （二）学习要求
    了解常微分方程的解的几何解释，掌握了解一阶微分方程解的存在唯一性定理的条件和结论以及利普希茨条件的检验方法。了解解的存在唯一性定理的全部证明过程和证明中所用方法的原因。掌握利用Picard逐步逼近法求所给方程的近似解。
    （三）考核知识点和考核要求
    1、领会：常微分方程的解的几何解释，解的存在唯一性定理的全部证明过程和证明中所用方法
    2、掌握：掌握了解一阶微分方程解的存在唯一性定理的条件和结论以及利普希茨条件的检验方法，掌握利用Picard逐步逼近法求所给方程的近似解。
    
    第三章  一阶线性微分方程组
    （一）课程内容
    1、一阶微分方程组和一阶线性微分方程组的基本概念
    2、一阶线性齐次微分方程组的一般理论
    3、一阶线性非齐次微分方程组的一般理论
    4、常系数线性微分方程组的解法
    （二）学习要求
    了解线性微分方程组的一般理论，, 了解应用常数变易公式求线性非齐次微分方程组的特解的方法，重点掌握常系数线性微分方程组的求解方法。
    （三）考核知识点和考核要求
    1、领会：一阶微分方程组和一阶线性微分方程组的基本概念， 一阶线性齐次微分方程组的一般理论和一阶线性非齐次微分方程组的一般理论
    2、掌握：常系数线性微分方程组的求解方法。
    3、熟练掌握：常系数线性齐次微分方程组的解法
    
    第四章  n阶线性微分方程
    （一）课程内容                                      
    1、n阶线性微分方程的一般理论
    2、n阶常系数线性齐次方程的解法
    3、n阶常系数线性非齐次方程解的解法
    （二）学习要求
    了解n阶线性方程的解的性质与结构和利用常数变易法求 n阶线性方程的特解的一般理论。
    熟练掌握n阶常系数线性方程的解法和利用待定系数法求两种类型n阶非齐次线性方程的特解。
    （三）考核知识点和考核要求
    1、领会：n阶线性方程的解的性质与结构和利用常数变易法求 n阶线性方程的特解的一般理论。
    2、掌握：n阶线性方程的解的结构
    3、熟练掌握：n阶常系数线性方程的解法和n阶常系数线性非齐次方程解的解法。
    
    第五章  定性与稳定性理论简介
    （一）课程内容
    1、稳定性概念
    2、李雅普诺夫第二方法
    3、平面自治系统的基本概念
    4、平面定性理论简介
    （二）学习要求
    了解相平面及其有关的定义和概念、掌握各种类型的初等奇点及其相应的稳定性态。能利用李雅普诺夫第二方法判断零解的稳定性。了解平面系统极限环的有关概念，会求简单方程组的极限环和稳定性。
    （三）考核知识点和考核要求
    1、领会：稳定性概念和平面自治系统的基本概念，李雅普诺夫第二方法。
    2、掌握：初等奇点和极限环的有关概念。
    3、熟练掌握：各种类型的初等奇点及其相应的稳定性态的确定，确定简单方程组的极限环和稳定性方法
    
    第六章  一阶线性偏微分方程初步
    （一）课程内容
    1、基本概念
    2、一阶常微分方程组的首次积分
    3、一阶线性齐次偏微分方程
    （二）学习要求
    了解一阶偏微分方程的基本概念、一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系以及常微分方程组首次积分的概念。能够利用首次积分求解常微分方程组. 了解一阶偏微分方程的解法。
    （三）考核知识点和考核要求
    1、领会：一阶偏微分方程的基本概念和一阶偏微分方程的解法。
    2、掌握：首次积分的概念
    3、熟练掌握：用首次积分求解常微分方程组
    
    三、有关说明和实施要求
    （一）关于“课程内容与考核目标”中的有关说明
    在大纲的考核要求中，提出了“领会”、“掌握”“熟练掌握”等三个能力层次的要求，它们的含义是：
    1、领会：要求应考者能够记忆规定的有关知识点的主要内容，并能够理解规定的有关知识点的内涵与外延，熟悉其内容要点和它们之间的区别与联系，并能根据考核的不同要求，作出正确的解释、说明和阐述。
    2、掌握：要求应考者掌握有关的知识点，正确和记忆相关内容的原理、方法步骤等。
    3、重点掌握：要求应考者必须掌握的核心内容和重要知识点。
    （二）自学教材
    本课程使用教材为：《常微分方程》，东北师范大学微分方程教研室主编，高等教育出版社，2005年。
    （三）自学方法的指导
    本课程作为一门的专业课程，综合性强、内容多、难度大，自学者在自学过程中应该注意以下几点：
    1、学习前，应仔细阅读课程大纲，熟悉课程的基本要求，使以后的学习紧紧围绕课程的基本要求。
    2、在阅读某一章教材内容前，应先认真阅读大纲中该章的考核知识点、自学要求和考核要求，注意对各知识点的能力层次要求，以便在阅读教材时做到心中有数。
    3、认真学习各章节例题，熟悉各种类型习题解法。
    4、学完教材的每一章节内容后，应完成教材的习题，进一步理解和巩固所学的知识，增强解题能力。
    （四）对社会助学的要求
    1、应熟知考试大纲对课程所提出的总的要求和各章的知识点。
    2、应掌握各知识点要求达到的层次，并深刻理解各知识点的考核要求。
    3、对应考者进行辅导时，应以指定的教材为基础，以考试大纲为依据，不要随意增删内容，避免与考试大纲脱节。
    4、辅导时应对应考者进行学习方法的指导。
    5、辅导时要注意基础、突出重点，注意帮助学生归纳对各类型方程的解法。
    （五）关于命题和考试的若干规定
    1、本大纲所提到的考核要求中，各条细目都是考试的内容，试题覆盖到章，适当突出重点章节，加大重点内容的覆盖密度。
    2、试卷对不同能力层次要求的试题所占的比例大致是：“领会”10 ，“掌握”20 ，“熟练掌握”为70 。
    3、试题难易程度要合理，可分为四档：易、较易、较难、难，这四档在各份试卷中所占的比例约为2 ：3 ：3 ：2。
    4、本课程考试试卷可能采用的题型有：单项选择题、填空题等类型。
    5、考试方式为闭卷笔试，考试时间为150分钟。评分采用百分制，60分为及格。
                                              
附录  题型举例