02014 微分几何（高纲1679）

高纲1679
江苏省高等教育自学考试大纲

  02014   微分几何

江苏第二师范学院编（2017年）


江苏省高等教育自学考试委员会办公室
Ⅰ  课程性质与课程目标
主要包括以下内容：
一、课程性质和特点
本课程在考生具备常微分方程、解析几何、高等代数和数学分析知识的基础上，学习和掌握三维欧氏空间中曲线和曲面的局部理论、培养考生几何直观和图形想象能力，以及运用数学分析、线性代数等工具来研究、解决几何问题的能力。
   二、课程目标
课程设置的目标是鼓励考生：
1.熟悉三维欧氏空间中常见曲线和常见曲面的方程和形状。
2.掌握三维欧氏空间中曲线和曲面的各种曲率的计算。
3.理解三维欧氏空间中曲线和曲面微分几何的基本理论和基本方法。
4.了解曲面内蕴微分几何的意义、基本概念和理论等。
5.进一步提高逻辑推理和空间想象能力。
三、与相关课程的联系与区别
本课程适合在考生具备高等代数、数学分析、解析几何、常微分方程等课程知识后学习的一门课程。旨在培养考生用微分的观点来看待几何学，加深对几何学的理解，能用所学的曲线和曲面的基本理论去解决实际问题。
四、课程的重点和难点
本课程的重点是曲线的曲率、挠率的计算公式，伏雷内公式，曲面的第一基本形式，曲面的第二基本形式，曲面的主曲率、高斯曲率；次重点是空间曲线的密切平面，空间曲线论的基本定理，曲面的切平面和法线，曲面的渐近方向和共轭方向，曲面的主方向和曲率线，可展曲面。
本课程的难点是伏雷内公式，曲面的第二基本形式，高斯曲率，曲面的渐近方向和共轭方向，曲线的主方向和曲率线。
Ⅱ  考核目标
本大纲在考核目标中，按照识记、领会和应用三个层次规定其应达到的能力层次要求。三个能力层次是递升的关系。各能力层次的含义是：
识记（Ⅰ）：要求考生能够识别和记忆本课程中有关微分几何概念及各种计算公式（如定义、定理、公式、重要结论、方法等），并能够根据考核的不同要求，做正确的表述、计算和证明。
领会（Ⅱ）：要求考生能够领会本课程中一些重要的概念及计算公式的推导，理解相关知识的区别和联系，并能根据考核的不同要求对微分几何问题进行逻辑推理和论证，做出正确的计算、推导和证明。
应用（Ⅲ）：要求考生能够根据书上的计算公式对各种常见曲线和曲面的相关量进行计算（如曲线的曲率、挠率、曲面的切平面、法线、曲面的第一基本形式和第二基本形式、曲面的主曲率、高斯曲率等），根据已有的理论对一些常见曲线和曲面进行相关的理论推导等。
Ⅲ  课程内容与考核要求
第一章  曲线论
一、学习目的与要求
1．了解曲线在一点邻近的结构；
2. 熟悉向量的运算法则和性质，弧长公式和弧长参数，曲线论的基本定理；
3. 掌握曲线的概念和参数表示，曲线弧长的计算、曲线的切线、法面、密切平面、从切平面、主法线、副法线方程的计算；
4. 熟练掌握曲线的曲率的计算、曲线的单位切向量、主法向量、副法向量、伏雷            内公式和挠率的计算。
二、课程内容
第一节  向量函数
第二节  曲线的概念
第三节  空间曲线
三、考核知识点与考核要求
1. 向量函数的运算
识记：数乘向量的导数公式；向量相加的导数公式；向量积的导数公式；
数量积的导数公式；混合积的导数公式。
领会：向量函数具有固定长度的条件；单位向量函数关于变量的旋转速度。
应用：向量函数具有固定方向的条件；向量函数平行于固定平面的条件。
2. 曲线的切线、法面和自然参数
识记：简单曲线段；曲线的参数表示；光滑曲线；正常点；正则曲线；切向量。
领会：曲线的自然参数；曲线的向量参数表示。
应用：切线方程；法平面方程；曲线的弧长。
3. 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式
识记：基本三棱形；挠曲线；空间曲线的自然方程；一般螺线。
领会：密切平面；单位切向量；主法向量；副法向量；伏雷内标架；从切平面；基本向量；平面曲线；空间曲线论的基本定理。
应用：副法线方程；主法线方程；曲率；挠率；伏雷内公式。
四、本章重点、难点
重点：单位切向量；主法向量；副法向量；曲率；挠率；伏雷内公式。
难点：曲率；挠率；伏雷内公式；空间曲线论的基本定理。
第二章  曲面论
一、学习目的与要求
1．了解曲面在一点邻近的结构，可展曲面的例子、曲面为可展曲面的条件、可展曲面的分类；
熟悉曲面的参数方程、曲纹坐标网、曲面上的曲线族和曲线网、曲面在一点的切方向；
掌握曲面的切平面和法线、曲面上曲线的弧长、曲纹坐标网是渐近网的条件、曲纹坐标网是共轭网的条件、曲率线、曲纹坐标网是曲率线网的条件；
熟练掌握曲面的第一基本形式和第二基本形式，曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲率。
二、课程内容
第一节  曲面的概念
第二节  曲面的第一基本形式
第三节  曲面的第二基本形式
第四节  直纹面和可展曲面
三、考核知识点与考核要求
1. 曲面的参数表示、曲面的切平面、法线
识记：曲面的参数表示；曲面的曲纹坐标；曲纹坐标网；光滑曲面；曲面的正常点；正规坐标网。
领会：曲面的坐标曲线；曲面在一点的切方向；法方向。
应用：切平面方程；法线方程。
2. 曲面的第一基本量、第一基本形式
识记：等距变换；保角变换。
领会：曲面的第一基本量；曲面的坐标网是正交的条件；曲面的内蕴性质；两曲面可建立等距对应的条件；内蕴量；两曲面可建立保角对应的条件。
应用：曲面的第一基本形式。
3. 曲面的第二基本量、第二基本形式
识记：法截面；法截线；椭圆点；双曲点；抛物点；平点；渐近网；共轭网；脐点；圆点；曲率线网；极小曲面。
领会：曲面的第二基本量；法曲率；Dupin指标线；渐近方向；渐近曲线；共轭方向；主方向；主方向的判别定理；曲率线；Euler公式。
应用：曲面的第二基本形式；曲纹坐标网是渐近网的条件；曲纹坐标网是共轭网的条件；曲纹坐标网是曲率线网的条件；主曲率；高斯曲率；平均曲率。
4. 直纹面、可展曲面
识记：直纹面；曲面上的曲线是曲率线的条件；可展曲面与平面的关系。
领会：直纹面的参数表示；可展曲面；可展曲面的分类。
应用：曲面为可展曲面的条件。
四、本章重点、难点
重点：曲面的第一基本形式；曲面的第二基本形式；渐近方向；共轭方向；主方向；主曲率；高斯曲率；平均曲率。
难点：法曲率；共轭方向；主曲率；高斯曲率；平均曲率。
第三章  外微分形式和活动标架（不作要求）
第四章 整体微分几何初步（不作要求）

Ⅳ  关于大纲的说明与考核实施要求
一、自学考试大纲的目的和作用（共性部分）
课程自学考试大纲是根据专业自学考试计划的要求，结合自学考试的特点而确定。其目的是对个人自学、社会助学和课程考试命题进行指导和规定。
课程自学考试大纲明确了课程学习的内容以及深广度，规定了课程自学考试的范围和标准。因此，它是编写自学考试教材和辅导书的依据，是社会助学组织进行自学辅导的依据，是自学者学习教材、掌握课程内容知识范围和程度的依据，也是进行自学考试命题的依据。
二、课程自学考试大纲与教材的关系（共性部分）
课程自学考试大纲是进行学习和考核的依据，教材是学习掌握课程知识的基本内容与范围，教材的内容是大纲所规定的课程知识和内容的扩展与发挥。课程内容在教材中可以体现一定的深度或难度，但在大纲中对考核的要求一定要适当。
大纲与教材所体现的课程内容应基本一致；大纲里面的课程内容和考核知识点，教材里一般也要有。反过来教材里有的内容，大纲里就不一定体现。（注：如果教材是推荐选用的，其中有的内容与大纲要求不一致的地方，应以大纲规定为准。）
三、关于自学教材
《微分几何》（第四版），梅向明、黄敬之编，高等教育出版社，2008年版。
四、关于自学要求和自学方法的指导
本大纲的课程基本要求是依据专业考试计划和专业培养目标而确定的。课程基本要求还明确了课程的基本内容，以及对基本内容掌握的程度。基本要求中的知识点构成了课程内容的主体部分。因此，课程基本内容掌握程度、课程考核知识点是高等教育自学考试考核的主要内容。
为有效地指导个人自学和社会助学，本大纲已指明了课程的重点和难点，在章节的基本要求中一般也指明了章节内容的重点和难点。
根据学习对象成人在职业余自学的情况，作者可结合自己或他人的教学经验和体会，提出几点具有规律性或代表性的学习方法，并结合本专业的要求、本课程的特点可具体适当展开写出，以便更好地指导考生如何进行自学。
五、应考指导
1. 如何学习
很好的计划和组织是你学习成功的法宝。…如果你正在接受培训学习，一定要跟紧课程并完成作业。…为了在考试中作出满意的回答，你必须对所学课程内容有很好的理解。…使用“行动计划表”来监控你的学习进展。…你阅读课本时可以做读书笔记。如有需要重点注意的内容，可以用彩笔来标注。如：红色代表重点；绿色代表需要深入研究的领域；黄色代表可以运用在工作之中。可以在空白处记录相关网站，文章。
2. 如何考试
卷面整洁非常重要。书写工整，段落与间距合理，卷面赏心悦目有助于教师评分，教师只能为他能看懂的内容打分。回答所提出的问题。要回答所问的问题，而不是回答你自己乐意回答的问题！避免超过问题的范围。
3. 如何处理紧张情绪
正确处理对失败的惧怕，要正面思考。如果可能，请教已经通过该科目考试的人，问他们一些问题。做深呼吸放松，这有助于使头脑清醒，缓解紧张情绪。考试前合理膳食，保持旺盛精力，保持冷静。
4. 如何克服心理障碍
这是一个普遍问题！如果你在考试中出现这种情况，试试下列方法：使用“线索”纸条。进入考场之前，将记忆“线索”记在纸条上，但你不能将纸条带进考场，因此当你阅读考卷时，一旦有了思路就快速记下。按自己的步调进行答卷。为每个考题或部分分配合理时间，并按此时间安排进行。
六、对社会助学的要求
要针对重点章、次重点章和一般章节分别提出自学或助学的基本学时建议和要求（如在章节后面已有，这里也可不再阐述），在助学活动中应注意的问题。要强调注意正确引导、把握好助学方向，正确处理学习知识和提高能力的关系。
七、对考核内容的说明
1. 本课程要求考生学习和掌握的知识点内容都作为考核的内容。课程中各章的内容均由若干知识点组成，在自学考试中成为考核知识点。因此，课程自学考试大纲中所规定的考试内容是以分解为考核知识点的方式给出的。由于各知识点在课程中的地位、作用以及知识自身的特点不同，自学考试将对各知识点分别按三个或四个认知（或叫能力）层次确定其考核要求。
2. 课程分为两部分，分别为曲线论、曲面论，考试试卷中所占的比例大约分别为：40%、60%。
八、关于考试命题的若干规定
1、本大纲各章所规定的基本要求、知识点及知识点下的知识细目，都属于考核的内容。考试命题既要覆盖到章，又要避免面面俱到。要注意突出课程的重点、章节重点，加大重点内容的覆盖度。
2、命题不应有超出大纲中考核知识点范围的题目，考核目标不得高于大纲中所规定的相应的最高能力层次要求。命题应着重考核自学者对基本概念、基本知识和基本理论是否了解或掌握，对基本方法是否会用或熟练。不应出与基本要求不符的偏题或怪题。
3、本课程在试卷中对不同能力层次要求的分数比例大致为：识记占30%，领会占30%，应用占40%。
4、要合理安排试题的难易程度，试题的难度可分为：易、较易、较难和难
四个等级。每份试卷中不同难度试题的分数比例一般为：2:3:3:2。必须注意试题的难易程度与能力层次有一定的联系，但二者不是等同的概念。在各个能力层次中对于不同的考生都存在着不同的难度。在大纲中要特别强调这个问题，应告诫考生切勿混淆。
5、课程考试命题的主要题型一般有单项选择题、填空题、计算题、证明题等题型。
在命题工作中必须按照本课程大纲中所规定的题型命制，考试试卷使用的题型可以略少，但不能超出本课程对题型规定。
附录  题型举例
一、单项选择题
如：对于向量函数，若，则（  ）     （填A）
A. 具有固定长度          B. 具有固定长度
C. 具有固定方向          D. 具有固定方向
二、填空题
如：曲线在处有，则曲线在对应的点处的挠率    。（填）
三、计算题
如：计算圆柱面的第一、第二基本形式。 
答：，，
第一基本量为，，，
     第一基本形式为 ；
，，，
，
第二基本量为，，，
第二基本形式为 。
    四、证明题
如：证明曲面上曲线族，构成共轭网。
答：曲面的向量表示为，
，是两族坐标曲线，
，，
，，，
于是，
所以坐标曲线，构成共轭网。